Download PDF by Gisbert Wüstholz: Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik

By Gisbert Wüstholz

ISBN-10: 3834819611

ISBN-13: 9783834819611

ISBN-10: 3834886785

ISBN-13: 9783834886781

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln. Der textual content wurde für die 2. Auflage vollständig durchgesehen und an vielen Stellen verbessert.

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Die Liste dieser Gruppen besteht aus Familien in der Art von (a), (c) und (d) sowie den sporadischen einfachen Gruppen (siehe (e)). Wir werden eine der Mathieu-Gruppen, die Gruppe M11 , in einer Übung kennenlernen. Sie ist das einfachste Beispiel einer sporadischen einfachen Gruppe. 6). Aus den einfachen endlichen Gruppen kann man die endlichen Gruppen durch sogenannte Gruppenerweiterung konstruieren. Dazu betrachtet man eine Sequenz von Gruppen und Homomorphismen i i 1 −→ G −→ G −→ G −→ 1. Sie heißt eine kurze exakte Sequenz (von Gruppen), wenn i injektiv ist, i surjektiv und ker i = im i .

Ii) Es gilt (Gm) ∩ (Gm ) = ∅ genau dann, wenn Gm = Gm . Beweis (i) ist klar. Um (ii) zu beweisen, beachten wir, dass (Gm) ∩ (Gm ) = ∅ gleichbedeutend damit ist, dass es Elemente g, g ∈ G gibt mit gm = g m . Hieraus ✷ ergibt sich dann Gm = Gm , d. h. (ii). Wählt man eine Menge S ⊂ M mit Gs = Gs für s = s in S, die maximal mit dieser Eigenschaft ist, so gilt M = Gs s∈S und die Vereinigung ist disjunkt. Man nennt die Menge S ein System von Repräsentanten. Auf diese Weise erhält man eine disjunkte Zerlegung von M in Nebenklassen unter der Aktion von G.

Beweis Es sei H = g die von g erzeugte zyklische Untergruppe von G und d ihre Ordnung. 36 ord(G) = (G : 1) = (G : H)(H : 1) = (G : H) · d und deswegen d | ord(G). Der zweite Teil des Satzes ist klar. 46 Untergruppen und homomorphe Bilder von zyklischen Gruppen sind zyklisch. Beweis Bilder von zyklischen Gruppen unter einem Homomorphismus sind offensichtlich zyklisch. Ist G eine zyklische Gruppe so ist sie das Bild von Z unter einem Homomorphismus. Das Urbild einer Untergruppe H von G ist als Untergruppe von Z von der Gestalt d Z und somit zyklisch, und deswegen ist H als homomorphes Bild einer zyklischen Gruppe ebenfalls zyklisch.

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by Edward
4.2

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