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By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 3322915786

ISBN-13: 9783322915788

ISBN-10: 3528031921

ISBN-13: 9783528031923

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach quickly dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln.

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Xn_Ix n = a n- 2 erfüllen. Dabei werden die in den Lösungen XI, X2, ... , Xn symmetrischen Ausdrücke auf der linken Seite der Gleichungen elementarsymmetrisehe Polynome genannt. Aber nicht nur die Lösung konkret gegebener Gleichungen mit explizit bekannten Koeffizienten lässt sich auf Basis des Vieta' schen Wurzelsatzes neu interpretieren. Selbstverständlich kann man auch die Lösungen XI. X2, ... , Xn als Variablen ansehen, so dass die Suche nach einer allgemeinen Lösungsformel der Aufgabe entspricht, die Variablen XI.

Die Natur erlaubt es nicht"21 . Dank seines Schülers Ludovico Ferrari (1522-1569) konnte Cardano aber in seiner Ars magna auch ein Verfahren zur Lösung biquadratischer Gleichungen beschreiben. Ferrari war es nämlich gelungen, biquadratische Gleichungen der Form X4 + px 2 + qx + r = 0 durch Addition zwei weiterer Terme zu den Potenzen x und x2 so umzuformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht. Geringfügig abweichend von dem Weg, den Cardano in seinem Buch beschreibt, addiert man dazu am einfachsten unter Verwendung eines später noch geeignet auszuwählenden Wertes z auf beiden Seiten der Gleichung 2zx 2 + Z2 und erhält dadurch x 4 +2zx 2 +Z2 =(2z-p)x 2 _qX+(Z2 -r).

57-67 24 Biquadratische Gleichungen 3 Biquadratische Gleichungen Gesucht ist eine Lösung der Gleichung x4 + 6x2 + 36 = 60x. 1. Auch die dritte Problemstellung ist klassisch und entstammt Cardanos Buch Ars magna20 . Allerdings bereitete es Cardano Schwierigkeiten, solche biquadratischen Gleichungen überhaupt zu behandeln, da sie ihm keine geometrische Interpretation boten. Dazu bemerkte er im Vorwort: "Da positio auf eine Linie, quadratum auf eine Fläche und cubum auf einen Körper hinweisen, wäre es sehr töricht, über dieses hinauszugehen.

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Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie by Jörg Bewersdorff


by William
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